Ментальный счет: описание методики, результаты, отзывы. Ментальная арифметика. Устный счет: как научиться считать в уме Как считать быстро в уме на пальцах

Филиал МБОУ Токарёвской СОШ №1 в с.Полетаево

Исследовательская работа

научный руководитель: Зуева Ирина Петровна

учитель математики

Полетаево 2016 год

Введение.

Глава I. Исследование теории

1.1. Возникновение счета у первобытных людей

1.2. Изменение счета при появлении цивилизации

1.3. Первая литература по способам счёта

1.4. Таблица умножения на пальцах

1.5. Люди - феномены быстрого счёта

Глава II. Эксперименты и анализ решения

2.1. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого меньше 10

2.2. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

2.4 Умножение на 22,33,…,99

2.5 Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила

умножения двузначного числа на число 11.

2.6. Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д.

2.7. Умножение на 37

Выводы.

Список использованной литературы.

Введение.

Для участия в конференции творческих работ школьников «Малые грани.» я достаточно быстро определилась с выбором темы. Мне всегда было интересно, какими методами пользуются учителя математики при проверке тетрадей, при объяснении нового материала, когда приходится произвести быстрый расчёт. Определённые приёмы быстрого счёта, предложенные на уроках, мне давались легко, но чем дальше мы познаём математику, тем больше мне хочется узнать о том, как можно еще использовать быстрый счёт на более сложных числах.

Здесь будет файл: /data/edu/files/i1461402798.pptx (Нестандартные приемы устного счета)

Я выбрала тему «Нестандартные приемы устного счета » потому, что я люблю математику и хотела бы научиться считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора.

Я поставила перед собой проблему: найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики.

Объект исследования - вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно - математического цикла.

Предмет исследования - нестандартные приёмы и навыки устного счёта при умножении натуральных чисел.

Задачи 1)узнать об упрощённых, нестандартных способах устных вычислений при умножении натуральных чисел.

2)рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов при умножении и делении чисел.

Методы исследования:

1) сбор информации;

2) систематизация и обобщение.

Цель исследовательской работы: изучить методы и приёмы быстрого счёта и доказать необходимость умения быстрого счёта и эффективного использования этих приёмов.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка. Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.

ГЛАВА I.

1.1. Как люди научились считать.

На этом этапе мне предстоит окунуться в историю появления счёта, чтобы понять преимущества людей, обладающих приёмами быстрого счета.

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникала необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас, сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов - одного птенца и т.д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили «один», а если их было больше - «много». Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки) привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил «много». Лишь постепенно человек научился считать до трёх, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперёд.

Для счёта люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах двадцати.

1.2. Изменение счёта при появлении цивилизации.

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10.

При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.

Древние торговцы для удобства счёта начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления, особенно последнее. «Умноженье - мое мученье, а с деленьем - беда» - говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приёма для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления - приёмы один другого запутаннее, твёрдо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счётного дела держался своего излюбленного приёма, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

1.3. Первая литература по способам счёта.

В книге В. Беллюстина « Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом рукописных сборниках».Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был так же и очень интересный, точный, лёгкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. («Арифметика» - старинный русский учебник математики, которую Ломоносов назвал «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.

Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

Интересно, что и наш способ умножения не является совершенным, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.

1.4. Таблица умножения на «пальцах».

Таблица умножения - те необходимые в жизни каждого человека знания, которые требуется элементарно заучить, что на первых школьных порах даётся совсем не элементарно. Это потом уже с легкостью мага мы «щелкаем» примеры на умножение: 2·3, 3·5, 4·6 и т.д., но со временем все чаще забываемся на множителях ближе к 9, особенно если счетной практики давно не ведали, отчего отдаемся во власть калькулятора или надеемся на свежесть знаний друга. Однако, овладев одной незамысловатой техникой «ручного» умножения, мы можем запросто отказаться от услуг калькулятора. Уточнение: речь идет о школьной таблице умножения, т.е. для чисел от 2 до 9, умножаемых на числа от 1 до 10.

Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 … 9·10 - легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится» на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке). Допустим, хотим умножить 9 на 7. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать 9. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 7. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 6 пальцев не загнуто, справа - 3 пальца. Таким образом, 9·7=63. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».

Еще пример: нужно вычислить 9·9=? По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите к примеру 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 9-ю клеточку. Слева осталось 8 клеточек, справа - 1 клеточка. Значит 9·9=81. Все очень просто.

Умножение для числа 8 - 8·1, 8·2 … 8·10 - действия здесь похожи на умножение для числа 9 за некоторыми изменениями. Во-первых, поскольку числу 8 не хватает уже двойки до круглого числа 10, нам необходимо каждый раз загибать сразу два пальца - с номером х и следующий палец с номером х+1. Во-вторых, тотчас же после загнутых пальцев мы должны загнуть еще столько пальцев, сколько осталось не загнутых пальцев слева. В-третьих, это напрямую работает при умножении на число от 1 до 5, а при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа х пятерку и выполнить расчёт как для числа от 1 до 5., а к ответу затем добавить число 40, потому что иначе придется выполнять переход через десяток, что не совсем удобно «на пальцах», хотя в принципе это не так сложно. Вообще надо заметить, что умножение для чисел ниже 9 тем неудобнее выполнять «на пальцах», чем ниже число расположено от 9.

Теперь рассмотрим пример умножения для числа 8. Допустим, хотим умножить 8 на 3. Загибаем палец с номером 3 и за ним палец с номером 4 (3+1). Слева у нас осталось 2 незагнутых пальца, значит нам необходимо загнуть еще 2 пальца после пальца с номером 4 (это будут пальцы с номерами 5, 6 и 7). Осталось 2 пальца не загнуто слева и 4 пальца - справа. Следовательно, 8·3=24.

Еще пример: вычислить 8·8=? Как было сказано выше, при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа х пятерку, выполнить расчет с новым число х-5, а затем добавить к ответу число 40. У нас х=8, значит загибаем палец с номером 3 (8-5=3) и следующий палец с номером 4 (3+1). Слева два пальца остались не загнуты, значит загибаем еще два пальца (с номером 5,6). Получаем: слева 2 пальца не загнуты и справа - 4 пальца, что обозначает число 24. Но к этому числу нужно еще добавить 40: 24+40=64. В итоге 8·8=64.

1.5. Люди - феномен быстрого счёта.

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие ученые, в частности Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными - Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие.

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врожденных способностях, другие аргументировано доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных «феноменальных» способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы.

Истина как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто следуя Трофиму Лысенко уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приемами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т.п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжелых случаях - и к шизофрении). С другой стороны и одаренные люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Один из примеров удачного сочетания обоих условий (природной одаренности и большой грамотной работы над собой) показал наш соотечественник, уроженец Алтайского края Юрий Горный.

Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счёта создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом. Она известна под названием «Система быстрого счёта». История ее создания необычная. В 1941г. гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счёта. Уже с самого начала результаты были самые отрадные. Учащиеся радовались вновь приобретенным навыкам и с воодушевлением двигались вперед. Если раньше их отталкивала монотонность, то сейчас их привлекало разнообразие приёмов. Шаг за шагом, благодаря достигнутым ими успехам, рос интерес к занятиям. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.

Также разработкой приёмов быстрого счёта занимались другие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман и другие.

Приведу примеры умножения чисел, получившие наибольшее описание в литературе.

ГлаваII.

2.1 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

27 х 11= 2 (2+7) 7 = 297;

62 х 11= 6 (6+2) 2 = 682.

2.2 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

86 х 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946.

2.3 Умножение на одиннадцать (по Трахтенбергу).

Разберем на примере: 633 умножить на 11.

Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата

633*11

Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат.3+3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6.

633*11

Применим правило еще раз: 6+3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате:

633*11

Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата:

633*11

6963

Ответ: 6963.

2.4 Умножение на 22,33,…,99

Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Примеры:

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;

42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;

13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715;

24 х 99 = 24 х 9 х 11 = 216 х 11 = 2376.

2.5 Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Пример:

24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)

24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)

При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. (количество шагов - 5)

Если единиц 6, то шагов будет 1 меньше, то есть 5.

Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10.

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

Примеры:

86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

2.6. Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д..

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:

32 х 101 = 3232; 47 х 101 = 4747;

324 х 1001 = 324 324; 675 х 1001 = 675 675;

6478 х 10001 = 64786478;

846932 х 1000001 = 846932846932.

2.7. Умножение на 37

Прежде чем научиться устно умножать на 37,надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Примеры:

24 х 37 = (24: 3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888;

18 х 37 = (18: 3) х 111 = 6 х 111 = 666.

2.8. Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100

Например: 98 х 97 = 9506

Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два

двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) найди недостатки сомножителей до сотни;

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков

сомножителей до сотни.

2.9. Умножение трёхзначного числа на 999.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) - «дополнения» первых до 9. Например:

385 * 999 = 384615

573 * 999 = 572427 943 * 999 = 942057

2.10. Умножение на шесть (по Трахтенбергу)

Нужно прибавить к каждой цифре половину «соседа».

Пример: 0622084 * 6

0622084 * 6 4 является правой цифрой этого числа и, так 4 как «соседа» у неё нет, прибавлять нечего.

06222084 * 6 Вторая цифра 8, е «сосед» - 4. Мы берём 8 04 прибавляем половину 4 (2) и получаем 10, ноль пишем, 1 в перенос.

06222084 * 6 Следующая цифра ноль. Мы прибавляем к ней

504 половину «соседа» 8 (4), то есть 0 + 4 = 4 плюс

перенос (1).

Остальные цифры аналогичны.

Ответ: 06222084 * 6

3732504

Правило умножения на 6: является «сосед» чётным или не чётным - никакой роли не играет. Мы смотрим только на саму цифру: если она чётная, прибавляем к ней её целую часть половины «соседа», если нечётная, то кроме половины «соседа» прибавляем еще 5.

Пример: 0443052 * 6

0443052 * 6 2 - чётная и не имеет «соседа», напишем её снизу

0443052 * 6 5 - нечётная: 5+5 и плюс половина «соседа» 2 (1)

12 будет 11. Запишем 1 и в перенос 1

0443052 * 6 половина от 5 будет 2, и прибавим перенос 1, то будет 3

0443052 * 6 3 - нечетная, 3 + 5 = 8

8312

0443052 * 6 4 + половина от 3 (1) будет 5

58312

0443052 * 6 4 + половина от 4 (2) будет 6

658312

0443052 * 6 ноль + половина от 4 (2) будет 2

2658312 Ответ: 2658312.

Выводы:

Система быстрого счёта по Трахтенбергу основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить на 11, 12, 6 и т.д. нужно знать алгоритм выполнения. Этим система неудобна, нужно в памяти держать много правил быстрого счёта, но система Трахтенберга показывает как красива математика, если человек открывает тайны её закономерностей, изучает их и учится применять их на практике.

Выводы исследования

Как мы видим, быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.

Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.

Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Список использованной литературы

1. «Устный счёт - гимнастика ума» Г.А.Филиппов

2. «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева

3. «Устный счет». Э.Л.Струнников

4. «Математическая шкатулка» Ф.Ф.Нагибин Е.С.Канин

5. «Мир чисел» Г.И. Зубелевич В.И.Ефимов

6. «Задачи для математического кружка» Е.Г.Козлова

7. «Развитие вычислительной культуры учащихся» НЛ. Мельникова

8. Библиотечка «Первое сентября»

Одна из главных причин плохих результатов по математике на ОГЭ или ЕГЭ – это неумение считать. Многие школьники затрудняются решить пример даже на листочке, не говоря уже о быстром счете в уме. А ведь некоторые участки мозга атрофируются, если человек не пользуется умственными навыками. Поэтому важно развивать умственные способности в полном объеме.

Основа для развития навыка счета в уме

Некоторые родители считают, что обучать ребенка быстро считать примеры в уме необязательно: в дальнейшем ему это не пригодится, ведь всегда можно воспользоваться калькулятором. Но при этом они забывают о том, что для развития мозга такая тренировка просто необходима: любой изученный метод (прием) счета – это новая нейронная цепочка (связь), чем таких цепочек больше, тем умнее школьник. Поэтому основная польза навыка быстрого счета – это развитие мозга, интеллекта.

Невозможно научиться работать с числами в голове, если иметь слабое представление о них и действиях с ними.

Умение счета развивается постепенно от визуально-наглядного представления чисел и действий с ними до абстрактно-логического:

1. Сначала ребенок учится считать в прямом и обратном порядке с помощью стишков, потешек, практических упражнений во время прогулки, принятия пищи игры (посчитать, сколько предметов на столе, машинок в гараже, птичек на дереве). Знакомится с цифрами, узнает, что они обозначают, учится соотносить цифру и количество.
2. Затем осваивает понятия «больше — меньше», «поровну», учится сравнивать количество предметов, размеры.
3. После этого знакомится со сложением и вычитанием, узнает смысл этих действий. Все примеры носят наглядный характер (к двум яблокам ребенок придвигает еще 2 яблока и считает, сколько получится).
4. Учится считать предметы глазами, проговаривает сначала вслух действия и результат действий, а потом — шепотом:если добавить к 4 машинкам еще 2, то получится 6.
5. Многократное повторение действий приведет к тому, что малыш научится распознавать примеры, с которыми уже работал и называть результат вслух, минуя этап проговаривания.

Важно на этапе обучения счету заинтересовать ребенка, поддерживать его в случае неудачи и радоваться вместе с ним победам, пусть даже и маленьким. Когда , навык нужно будет развивать, знакомя школьника с различными приемами и методиками.

Развитие навыка счета в уме

• Совершенствование умения работать с числами в голове.
• Знакомство с новыми приемами и методиками.
• Тренировка умения подбирать оптимальный алгоритм решения в каждом конкретном случае.

Умение работать с числами

Развивать подобный навык позволят упражнения:

• «Назови числа, в которых …» — указывается диапазон и условие, например «Назови числа от 5 до 50, в которых есть цифра 3» или «Назови все двузначные числа, в которых есть цифра 0». При выполнении данного упражнения важно сразу прорабатывать все ошибки, допущенные учеником. Если он пропустил число или назвал неправильное, то начинает сначала.
• «Ведение прогрессии» (диапазон и арифметические действия зависят от возраста и развития навыка счета). Например, «Иди от 5 с шагом 3» или «Иди в обратном порядке от 30 с шагом 4» — для детей начальной школы. Для тех, кто уже выучил таблицу умножения, можно давать задания на умножение и деление: «Иди от 2, умножая все числа на 3».
• «Найди числа от 1 до …» — детям нужно найти и назвать по порядку все числа в таблице.
• «Сравни числа» — дети определяют, какое из них больше (меньше), на сколько;
• «Примеры» — школьникам предлагают решить в уме примеры, сначала простейшие (с маленькими числами), после отработки числа постепенно увеличивают. Не стоит знакомить ребенка с двузначными или трехзначными числами, если он не умеет в совершенстве выполнять действия с числами до 5.

Приемы быстрого счета чисел

К сожалению, единого – универсального – способа, позволяющего решать все примеры одинаково быстро, просто не существует. Поэтому важно знать и уметь применять на практике несколько методов, из которых потом выбирать наиболее целесообразный.

Полезные алгоритмы решения некоторых примеров:

• Чтобы быстро вычесть из числа 7, 8 ил 9, нужно сначала вычесть 10, а затем прибавить 3,2 или 1 соответственно. Например: 45-9=45-10+1=36, или 36-8=36-10+2=28.
• Быстро умножить на 4, 8 и 16 тоже можно. Для этого нужно сначала вспомнить, что 4=2*2, 8=2*2*2, 16=2*2*2*2. Затем просто умножить число на2 несколько раз: 6*16=6*2*2*2*2=96.
• Чтобы умножить число на 9, его сначала увеличивают в 10 раз, а затем от полученного отнимают первый множитель: 27*9=27*10-27=243. Этот прием позволит очень быстро найти результат умножения на 9, если не пользоваться калькулятором.
• Некруглые числа при умножении на 2 удобнее округлить, а затем вычесть или добавить (в зависимости от того, в какую сторону округляли) произведение оставшегося или недостающего числа на 2: 132*2=130*2+2*2=264, или 138*2=140*2-2*2=276.
• Аналогично числа делят на 2: 156/2=150/2+6/2=78, или 156/2=160/2-4/2=78.
• Чтобы умножить на 5, число делят на 2, а затем увеличивают в 10 раз (действия можно произвести наоборот): 27*5=27/2*10 или 27*10/2=135.
• Подобные действия производят при умножении на 25: сначала делят на 4, а потом увеличивают в 100 раз (просто приписывают два нуля): 16*25=16/4*100=400. Конечно, таким способом удобнее пользоваться, когда первый множитель делится без остатка на 4. Определить, делится ли число на 4 без остатка несложно (нетабличные случаи): число, состоящее из двух его последних цифр, должно делиться на 4. Например, число 124 делится на 4 (24/4=6), а 526 – нет (26 не делится на 4 без остатка).

И еще один способ умножения на многозначного числа на однозначное – нужно умножить разрядные слагаемые на второй множитель и результаты сложить. Например, 424*5=400*5+20*5+4*5=2000+100+20=2120.

Чтобы не ошибиться в подсчетах важно уметь прогнозировать будущий результат, и здесь помогут несколько утверждений:

• При умножении однозначных чисел, результат не превышает 81: 9*9=81.
• Аналогично, 99*99=9801, поэтому результат умножения двузначных чисел не должен быть больше этого числа, а при увеличении трехзначных чисел максимальное число – 998001.

Отработка навыка счета в уме

Указанные выше алгоритмы – это основа для развития навыка устного счета. Научиться считать сложные примеры можно только при регулярной тренировке, доведении использования навыка до автоматизма.

Эффективность работы в этом направлении можно повысить, если во время занятий:

1. Создать игровую ситуацию , превращающую обыденный учебный процесс в интересный и необычный процесс.
2. Поддерживать увлеченность ребенка интересным материалом постоянной сменой деятельности.
3. Создать дух соперничества – осознание, что кто-то может сделать лучше, заставит стремиться к новым достижениям, такие занятия будут более эффективны, чем заучивание «в одиночку».
4. Фиксировать личные достижения , ставить новые цели по достижению новых вершин.

Умение концентрироваться на решении задачи в любой ситуации (даже когда мешают другие) также способствует развитию навыка счета (да и не только). Тренировать эту способность можно, решая примеры при включенной музыке или, находясь в шумной компании.

Чтобы ребенку не стало скучно, важно научиться бороться с этим чувством. Психологи рекомендуют использовать для этого любые действия: например, рассматривать, что происходит за окном, или наблюдать за движением часовых стрелок. Если малыш научится справляться со скукой, направлять свою энергию в нужное русло, то на уроках он сможет усвоить больший объем информации, что положительно скажется на его успеваемости .

Вы забыли деньги дома и коллега любезно согласился купить вам ланч. На обратном пути вы заглянули в магазин за перекусом, а там объявили суперакцию на любимые шоколадки. Вы не удержались и взяли 5 штук. Вы были так заняты покупками, что забыли про свой смартфон и не посчитали, сколько в итоге вы задолжали коллеге. Ситуация некрасивая. Куда проще было бы сразу всё сложить в уме. Но… кому это нужно, когда в каждом телефоне давно есть калькулятор!

Счёт в уме может быть таким же быстрым, как и на калькуляторе. Особенное, если дело касается бытовых вопросов. Главное, освоить приёмы быстрого счёта и периодически практиковать их. В материале приводим самые простые из них.

Разбивка задачи на части

Даже самые сложные арифметические задачи можно разбить на простые.

Пример: как вы посчитаете 15% скидки, если известна полная стоимость товара?

В этом случае имеет смысл разбить 15 на 10% и 5%. 10% отнять достаточно просто, а 5% - это половина от 10%.

Предположим, у нас есть товар за 900 рублей, 10% от него - 90 рублей, 5% - 45. Складываем: 90+45 = 135. Окончательная стоимость товара со скидкой 15%: 900 - 135 = 765 рублей.

Округление до целого

Этот приём подразумевает использование дополнения - числа, которое заполняет промежуток между данным числом и числом, которое, как правило, оканчивается на 00.

Например, дополнительным числом для 87 будет 13, так как их сумма даёт 100.

Пример 1234 - 678 кажется сложным. Округлим 678 до 700. Вычислить 1234 - 700 будет сильно проще, результат 534.

Так как мы вычли слишком большое число, то результату нужно вернуть недостающее: 700 - 678 = 22, к 534 прибавляем 22 и получаем окончательный результат 556.

Умножение на 11

Мы знаем, как просто умножить любое однозначное число на 11: просто два раза повторить его и - готово!

Но мало кто владеет навыком умножения двузначных и даже трёхзначных чисел на 11.

Чтобы умножить двузначное число на 11, необходимо разнести его цифры в разные стороны, а посередине записать их сумму. Если сумма больше 10 - то посередине оставляем вторую цифру от полученного числа, а десяток, то есть единицу, прибавляем к первой цифре.

Пример 1: 36×11 = 3 (3+6) 6 = 396

Пример 2: 57×11 = 5 (5+7) 7 = 627

Для умножения трёхзначных чисел:

• Оставьте без изменения первую и последнюю цифру числа.
• Сложите предпоследнюю цифру с последней запишите результат. Если он больше 10, запомните единицу.
• Прибавьте к первой цифре вторую и запишите результат. Если от предыдущего сложения осталась единица, добавьте её к результату.
• Если в результате последнего сложения осталась единица, прибавьте её к первой цифре исходного числа.

Пример 3 : 869×11

1. Запоминаем 9 во временный результат. Результат: 8...9.
2. Складываем 6 и 9, получаем 15. Записываем 5 перед 9, 1 - запоминаем. Результат: 8...59 (1 в уме).
3. Складываем 8 и 6, получаем 14, прибавляем 1 из прошлого результата. Результат: 8559 (1 в уме).
4. Прибавляем к 8 единицу из прошлого результата. Результат: 9559.

Умножение чисел от 11 до 19

Умножать такие числа можно используя следующий алгоритм:

• Любое число из диапазона от 11 до 19 представляем как десятки и единицы.
• Получаем формулу: (10+a)×(10+b).
• Раскрываем скобки: 100+10×b+10×a+a×b.
• Выносим за скобки общий множитель и получаем окончательную формулу, по которой можно считать и которую есть смысл запомнить: 100+10×(a+b)+a×b.

Пример: 13×17

1. Сложим единицы - 3+7=10.
2. Умножим результат на 10: 10×10 = 100.
3. Прибавим 100: 100+100=200.
4. Перемножим единицы: 3×7 = 21.
5. Прибавим к результату из шага 3: 200+21 = 221.

Ментальная арифметика

Научиться считать в уме можно, освоив приёмы ментальной арифметики. Сначала вы изучаете выполнение арифметических операций на японских счётах - соробане. Затем тренируетесь совершать те же вычисления, передвигая костяшки в уме. Мы уже писали подробнее о том, . Освоить методику полностью помогут курсы ментальной арифметики !

Отработка вычислительных навыков обучающихся на уроках математики с помощью приемов «быстрого» счета.

Кудинова И.К., учитель математики

МКОУ Лимановской СОШ

Панинского муниципального района

Воронежской области

«Приходилось ли тебе наблюдать, как люди с природными способностями к счёту бывают восприимчивы, можно сказать, ко всем наукам? Даже все те, кто туго соображает, если они обучаются этому и упражняются, то хотя бы они не извлекали из этого для себя никакой пользы, всё же становятся более восприимчивы, чем были раньше»

Платон

Важнейшей задачей образования является формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. Качество усвоения знаний определяется многообразием и характером видов универсальных действий. Формирование способности и готовности учащихся реализовывать универсальные учебные действия позволяет повысить эффективность процесса обучения. Все виды универсальных учебных действий рассматриваются в контексте содержания конкретных учебных предметов.

Важную роль в формировании универсальных учебных действий играет обучение школьников навыкам рациональных вычислений. Ни у кого не вызывает сомнения, что, развитие умения рациональных вычислений и преобразований, а также развитие навыков решения простейших задач "в уме" - важнейший элемент математической подготовки учащихся. В ажность и необходимость таких упражнений доказывать не приходиться. Значение их велико в формировании вычислительных навыков, и совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребенка. Создание определенной системы закрепления и повторения изученного материала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматического навыка.

Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Очевидно, что приемы рационального счета являются необходимым элементом вычислительной культуры в жизни каждого человека, прежде всего силу своей практической значимости, а обучающимся она необходима практически на каждом уроке.

Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин, т. к. кроме того, что вычисления активизируют память, внимание, помогают рационально организовать деятельность и существенно влияют на развитие человека.

В повседневной жизни, на учебных занятиях, когда ценится каждая минута, очень важно быстро и рационально провести устные и письменные вычисления, не допустив при этом ошибок и не используя при этом никаких дополнительных вычислительных средств.

Анализ результатов экзаменов в 9-х и 11-х классах показывает, что наибольшее количество ошибок учащиеся допускают при выполнении заданий на вычисления. Нередко даже высокомотивированные учащиеся к выходу на итоговую аттестацию утрачивают навыки устного счета. Они плохо и нерационально считают, все чаще прибегая к помощи технических средств-калькуляторов. Главная задача учителя - не только сохранить вычислительные навыки, но и научить применять нестандартные приемы устного счета, которые позволили бы значительно сократить время работы над заданием.

Рассмотрим конкретные примеры различных приемов быстрых рациональных вычислений.

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

СЛОЖЕНИЕ

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

ВЫЧИТАНИЕ

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

Умножение многозначных чисел на 9

1. Число десятков увеличим на 1 и вычтем из множимого

2. К результату приписываем дополнение цифры единиц множимого до 10

Пример:

576 · 9 = 5184 379 · 9 = 3411

576 - (57 + 1) = 576 - 58 = 518 . 379 - (37 + 1) = 341 .

Умножение на 99

1. Из числа вычитаем число его сотен, увеличенное на 1

2. Находим дополнение числа, образованного двумя последними цифрами до 100

3. Приписываем дополнение к предшествующему результату

Пример:

27 · 99 = 2673 (сотен - 0) 134 · 99 = 13266

27 - 1 = 26 134 - 2 = 132 (сотня - 1 + 1)

100 - 27 = 73 66

Умножение на 999 любого числа

1. Из умножаемого вычитаем число тысяч, увеличенное на 1

2. Находим дополнение до 1000

23 · 999 = 22977 (тысяч - 0 + 1 = 1)

23 - 1 = 22

1000 - 23 = 977

124 · 999 = 123876 (тысяч - 0 + 1 = 1)

124 - 1 = 123

1000 - 124 = 876

1324 · 999 = 1322676 (тысяча - 1 + 1 = 2)

1324 - 2 = 1322

1000 - 324 = 676

Умножение на 11, 22, 33, …99

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр:

72 ×11= 7 (7+2) 2 = 792;

35 ×11 = 3 (3+5) 5 = 385.

Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения:

94 ×11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034;

59×11 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33. …99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 1 до 9) на 11, т.е.

44= 4 × 11; 55 = 5×11 и т. д.

Затем произведение первых чисел умножить на 11.

48 × 22 =48 × 2 × (22: 2) = 96 × 11 =1056;

24 × 22 = 24 × 2 × 11 = 48 × 11 = 528;

23 ×33 = 23 × 3× 11 = 69 × 11 = 759;

18 × 44 = 18 × 4 × 11 = 72 × 11 = 792;

16 × 55 = 16 × 5 × 11 = 80 × 11 = 880;

16 × 66 = 16 × 6 × 11 = 96 × 11 = 1056;

14 × 77 = 14 × 7 × 11 = 98 × 11 = 1078;

12 × 88 = 12 × 8 × 11 = 96 × 11 = 1056;

8 × 99 = 8 × 9 × 11 = 72 × 11 = 792.

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого.

Умножение на число, оканчивающееся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой - уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

44 × 5 = (44: 2) × 5 × 2 = 22 × 10 = 220;

28 × 15 = (28: 2) × 15 × 2 = 14 × 30 = 420;

32 × 25 = (32: 2) × 25 × 2 = 16 × 50 = 800;

26 × 35 = (26: 2) × 35 × 2 = 13 × 70 = 910;

36 × 45 = (36: 2) × 45 × 2 = 18 × 90 = 1625;

34 × 55 = (34: 2) × 55 × 2 = 17 × 110 = 1870;

18 × 65 = (18: 2) × 65 × 2 = 9 × 130 = 1170;

12 × 75 = (12: 2) × 75 × 2 = 6 × 150 = 900;

14 × 85 = (14: 2) × 85 × 2 = 7 × 170 = 1190;

12 × 95 = (12: 2) × 95 × 2 = 6 × 190 = 1140.

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределах второго десятка. В противном случае вычисления усложнятся.

Умножение и деление на 25, 50, 75, 125, 250, 500

Для того, чтобы устно научиться умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.

На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4.

Например:

124 делится на 4, так как 24 делится на 4;

1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;

1800 делится на 4, так как 00 делится на 4

Правило. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

Примеры:

484 × 25 = (484: 4) × 25 × 4 = 121 × 100 = 12100

124 × 25 = 124: 4 × 100 = 3100

Правило. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

Примеры:

12100: 25 = 12100: 100 × 4 = 484

31100: 25 = 31100:100 × 4 = 1244

Правило. Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

Примеры:

32 × 75 = (32:4) × 75 × 4 = 8 × 300 = 2400

48 × 75 = 48: 4 × 300 = 3600

Правило. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

Примеры:

2400: 75 = 2400: 300 × 4 = 32

3600: 75 = 3600: 300 × 4 = 48

Правило. Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.

Примеры:

432× 50 = 432:2 × 50 × 2 = 216 × 100 = 21600

848 × 50 = 848: 2 × 100 = 42400

Правило. Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.

Примеры:

21600: 50 = 21600: 100 × 2 = 432

42400: 50 = 42400: 100 × 2 = 848

Правило. Чтобы число умножить на 500, надо это число разделить на 2 и умножить на 1000.

Примеры:

428 × 500 = (428:2) × 500 × 2 = 214 × 1000 = 214000

2436 × 500 = 2436: 2 × 1000 = 1218000

Правило. Чтобы число разделить на 500, надо это число разделить на 1000 и умножить на 2.

Примеры:

214000: 500 = 214000: 1000 × 2 = 428

1218000: 500 = 1218000: 1000 × 2 = 2436

Прежде чем научиться умножать и делить на 125, надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8.

Признак. На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.

Примеры:

3168 делится на 8, так как 168 делится на 8;

5248 делится на 8, так как 248 делится на 8;

12328 делится на 8, так как 324 делится на 8.

Чтобы узнать, делится ли трехзначное число, оканчивающееся цифрами 2, 4, 6. 8. на 8, нужно к числу десятков прибавить половину цифр единиц. Если полученный результат будет делиться на 8, то исходное число делится на 8.

Примеры:

632: 8, так как т.е. 64: 8;

712: 8, так как т.е. 72: 8;

304: 8, так как т.е. 32: 8;

376: 8, так как т.е. 40: 8;

208: 8, так как т.е. 24: 8.

Правило. Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить

на 8.

Примеры:

32 × 125 = (32: 8) × 125 × 8 = 4 × 1000 = 4000;

72 × 125 = 72: 8 × 1000 = 9000;

4000: 125 = 4000: 1000 × 8 = 32;

9000: 125 = 9000: 1000 × 8 = 72.

Правило. Чтобы число умножить на 250, надо это число разделить на 4 и умножить на 1000.

Примеры:

36 × 250 = (36: 4) × 250 × 4 = 9 × 1000 = 9000;

44 × 250 = 44: 4 × 1000 = 11000.

Правило. Чтобы число разделить на 250, надо это число разделить на 1000 и умножить на 4.

Примеры:

9000: 250 = 9000: 1000 ×4 = 36;

11000: 250 = 11000: 1000 ×4 = 44

Умножение и деление на 37

Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо хорошо знать таблицу умножения на три и признак делимости на три, который изучается в школьном курсе.

Правило. Чтобы умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Примеры:

24 × 37 = (24: 3) × 37 × 3 = 8 × 111 = 888;

27 × 37 = (27: 3) × 111 = 999.

Правило. Чтобы число разделить на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3

Примеры:

999: 37 = 999:111 × 3 = 27;

888: 37 = 888:111 × 3 = 24.

Умножение на 111

Научившись умножать на 11, легко умножить на 111, 1111. и т. д. число, сумма цифр которого меньше 10.

Примеры:

24 × 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664;

36 ×111 = 3 (3+6) (3+6) 6 = 3996;

17 × 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887.

Вывод. Чтобы число умножить на 11, 111. и т. д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами.

Умножение двух рядом стоящих чисел

Примеры:

1) 12 ×13 = ? 1 × 1 = 1 1 × (2+3) = 5 2 × 3 = 6 2) 23 × 24 = ? 2 × 2 = 4 2 × (3+4) = 14 3 × 4 = 12 3) 32 × 33 = ? 3 × 3 = 9 3 × (2+3) = 15 2 × 3 = 6 1056 4) 75 × 76 = ? 7 × 7 = 49 7 × (5+6) = 77 5 × 6 = 30 5700

Проверка: × 12 Проверка: × 23 Проверка: × 32 1056 Проверка: × 75 525_ 5700

Вывод. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Получим ответ (см. примеры)

Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10

Пример:

24 × 26 = (24 - 4) × (26 + 4) + 4 × 6 = 20 × 30 + 24 = 624.

Числа 24 и 26 округляем до десятков, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.

18 × 12 = 2 × 1 сот. + 8 × 2 = 200 + 16 = 216;

16 × 14 = 2 × 1 × 100 + 6 × 4 = 200 + 24 = 224;

23 × 27 = 2 × 3 × 100 + 3 × 7 = 621;

34 × 36 = 3 × 4 сот. + 4 × 6 = 1224;

71 × 79 = 7 × 8 сот. + 1 × 9 = 5609;

82 × 88 = 8 × 9 сот. + 2 × 8 = 7216.

Можно решать устно и более сложные примеры:

108 × 102 = 10 × 11 сот. + 8 × 2 = 11016;

204 × 206 = 20 × 21 сот. +4 × 6 = 42024;

802 × 808 = 80 × 81 сот. +2 × 8 = 648016.

Проверка:

× 802

6416

6416__

648016

Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые.

Правило. При умножении двузначных чисел. у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков. и прибавить цифру единиц, получим число сотен и к числу сотен прибавим произведение единиц.

Примеры:

72 × 32 = (7 × 3 + 2)сот. + 2 × 2 = 2304;

64 × 44 = (6 × 4 + 4) × 100 + 4 × 4 = 2816;

53 × 53 = (5 × 5 +3) × 100 + 3 × 3 = 2809;

18 × 98 = (1 × 9 + 8) × 100 + 8 × 8 = 1764;

24 × 84 = (2 × 8 + 4) ×100+ 4 × 4 = 2016;

63 × 43 = (6 × 4 +3) × 100 +3 × 3 = 2709;

35 × 75 = (3 × 7 + 5) × 100 +5 × 5 = 2625.

Умножение чисел, оканчивающихся на 1

Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать еще правее. Сложив столбиком, получим ответ.

Примеры:

1) 81 × 31 = ? 8 × 3 = 24 8 + 3 = 11 1 × 1 = 1 2511 81 × 31 = 2511

2) 21 × 31 = ? 2 × 3 = 6 2 +3 = 5 1 × 1 = 1 21 × 31 = 651

3) 91 × 71 = ? 9 × 7 = 63 9 + 7 = 16 1 × 1 = 1 6461 91 × 71 = 6461

Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных - на 1001

Правило. Чтобы двузначное число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

648 1001 = 648648;

999 1001 = 999999.

Приемы устных рациональных вычислений, используемые на уроках математики, способствуют повышению общего уровня математического развития; развивают у учеников навык быстро выделять из известных им законов, формул, теорем те, которые следует применить для решения предложенных задач, расчетов и вычислений; содействуют развитию памяти, развивают способность зрительного восприятия математических фактов, совершенствуют пространственное воображение.

Помимо этого, рациональный счет на уроках математики играет немаловажную роль в повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития личностных качеств ребенка. Формируя навыки устных рациональных вычислений, учитель тем самым воспитывает у учащихся навыки сознательного усвоения изучаемого материала, приучает ценить и экономить время, развивает желание поиска рациональных путей решения задачи. Иными словами формируются познавательные, включая логические, познавательные и знаково-символические универсальные учебные действия.

Цели и задачи школы кардинально меняются, осуществляется переход от знаниевой парадигмы к лично-ориентированному обучению. Потому важно не просто учить решать задачи по математике, а показывать действие основных математических законов в жизни, объяснять, как может учащийся применить полученные знания. И тогда у детей появится главное: желание и смысл учиться.

Список литературы

Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982.

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.

Совайленко ВК. Система обучения математике в 5-6 классах. Из опыта работы.- М.:Просвещение, 1991.

Катлер Э. Мак-Шейн Р. «Система быстрого счёта по Трахтенбергу» - М. Просвещение, 1967.

Минаева С.С. «Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике.» - М.: Просвещение, 1983.

Сорокин А.С. «Техника счета (методы рациональных вычислений)», М, Знани», 1976

http://razvivajka.ru/ Тренировка устного счета

http://gzomrepus.ru/exercises/production/ Упражнения на продуктивность и быстрый устный счет

Чтобы умножить любое двухзначное число на 11 , просто сложите эти 2 цифры вместе и поместите их сумму посередине.

Например, если вы хотите умножить 53 на 11, сложите 5+3, получите восьмерку и разместите посерединке между 5 и 3, и это даст правильный ответ 583.

Если сумма двух цифр равняется 10 или более, просто прибавьте это число к левой цифре. Например, если вы хотите умножить 97 на 11, сложите 9+7 = 16. 6 поместите посередине, а 1 прибавьте к 9, что дает правильный ответ - 1067.

Деление на 5

Надо при делении на 5 умножить на 2 и убрать 0 в конце числа.

Например, 480 делить на 5. Умножаем на 2 (960) и убираем 0. Получаем 96.

Теперь сами разделите на 5 следующие числа: 540, 290, 770, 1450. И калькулятором проверяйте!

Это даёт момент торжества.

При умножении на 5 делим на 2 и приписываем 0.

Пример. 480 умножить на 5. Делим на 2, получаем 240. Дописываем 0. 2400.

Сами умножьте на 5: 540, 290, 770, 1450

Умножение на 5, 50, 500

Как известно, дети любят умножать на 10, 100, 1000. Также быстро и легко можно умножать на 5, 50, 500, особенно чётные числа.

68 х 5 = 34: 10 = 340

68 х 50 = (68: 2) х 100 = 3400

Можно и нечётные:

17 х 50 = (16 + 1) х 50 = 8 х 100 = 850

Деление на 5, 50, 500

Всё происходит в обратном порядке: сначала делимое удваиваем и отбрасываем 1, 2 или 3 нуля. Например:

135: 5 = (135 х 2) : 10 =27

2150: 50 = 2150 х 2: 100 = 4300: 100 = 43

Умножение на 25

24 х 25 = 24: 4 х 100 = 600 - легко, когда четные. Нечётные представляем в виде суммы слагаемых (или разности). Например:

37 х 25 = (36 + 1) х 25 = 36: 4 х 10 + 25 = 925

Умножение на 26 и на 24

Заменяем суммой слагаемые 26 и 24:

36 х 26 = 36 х (25 + 1) = 36: 4 х 100 + 36 = 936

36 х 24 = 36 х (25 - 1) = 900 - 36 = 864

При делении на 25 всё происходит в обратном порядке:

360: 25 = (360 х 2) х 2 х 100 = 1440: 100 = 14,4

225: 25 = (225 х 2) х 2: 100 = 9.

Умножение на 125 - это деление на 8 и умножение на 1000:

42 х 125 = 88: 8 х 1000 = 11 000

Если число на 8 не делится, то используем один из перечисленных приёмов:

42 х 125 = 40: 8 х 1000 + 2 х 125 = 5000 + 250 = 5250.

Умножение на 9 , 99, 999

Удобно заменить на 10 - 1, 100 - 1, 1000 - 1

Умножение чётных чисел на 15

Делим число на 2 и прибавляем к искомому числу, затем всё умножаем на 10. Этот приём действует только для чётных чисел. Например:

14 х 15 = (14: 2 + 14) х 10 = 21 х 10 = 210

26: 15 = (26: 2 + 26) х 10 = 39 х 10 = 390

Нечётные представлены в виде суммы слагаемых

23 х 15 = (22 + 1) х 15 = (22: 2 + 22) х 10 +15 = 330 +15 = 345

Используя этот приём, можно умножать на 16 и 14 - (15 +1) и (15 - 1):

66 х 16 = 66 х (15 + 1) = (66: 2 + 66) х 10 + 66 = 1156

Умножение чисел, оканчивающихся на 5, самих на себя

35 х 35 = 3 х 4 и приписываем 5 х 5, т.е. 35 х 35 = 1225

Умножение на 11 и на 111

а) 32 х 11 = 32 х 10 + 32 = 352

б) раздвигаем цифры 3 и 2 вставляем между ними их сумму: 3 5 2

в) при умножении на 111, допустим 25:

Раздвигаем цифры множимого

Находим их сумму

Вписываем её уже 2 раза:

25 х 111 = 2 7 7 5

Если сумма цифр двузначного числа больше 10, то делаем так:

Число десятков множимого увеличиваем на 1,

Раздвигаем десятки и единицы

Вписываем единицы суммы десятков и единиц множимого:

78 х 11 = (7+1) (7+8) 8 = 8 15 8 = 858

г) чтобы умножить трёхзначное число на 11, нужно:

Число сотен и единиц оставить на своих местах

Приписать сумму сотен и десятков множимого

Приписать сумму десятков и единиц

115 х 11 = 1 (1+1) (1+5) 5 = 1265

Сложение нескольких последовательных чисел натурального ряда.

а) чтобы сложить несколько последовательных чисел натурального ряда (нечётное количество), необходимо слагаемое, стоящее посередине, умножить на число слагаемых:

6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 8 х 5 = 40

б) если чисел чётное количество, то берём два слагаемых, стоящих посередине и их сумму умножаем на половину количества слагаемых

6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 8+9 х 3 = 51